Метод виокреслення линейно независимых векторов

 

1.Нехай V — не пустая подмножество векторов с Rm, когда из условий А есть V, В является V следует, что при L является R, B является R вектор La + Bb является V.

Возьмем систему векторов а1, а2 ..., аn, принадлежащих Rm. Множество всех линейных комбинаций этих векторов.

а = Х1а1 + Х2а2 + ... Хnan, Xs есть R (1) образует линейный подпространство V в Rm.

Действительно, если а = в =, ХS, Ys является R

а, в является V, то выполняется равенство

La + Bb =, т.е. La + Bb является V.

Подпространство V, образован линейными комбинациями вида (1), называется линейной оболочкой системы векторов а1, а2 ,..., аn, или подпространства, порожденным векторами а1, а2 ,..., аn.

2.Означення: Упорядоченная совокупность m действительных чисел а1, а2, ... аm называется m-мерных вектором.

Числа а1, а2, ... аm называются координаты вектора а. Число m называется размерностью вектора а. Переход от записи вектора в виде столбца к записи в виде строки на наоборот называется транспортировкой вектора.

Определение: Два вектора называются равными, если равны между собой их соответствующие координаты.

Определение: Множество всех m-мерных векторов называется m-мерных пространством и назначается Rm.

Векторные пространства R1, R2, R3 можно рассматривать соответственно как множество векторов на прямой, множество векторов на плоскости и множество векторов в трехмерном пространстве.

Определение: Векторы а1, а2 ,..., аn называются линейно независимыми, если равенство Х1а1 + Х2а2 + ... Хnan = О (1)

выполняется лишь при Х1 = 0, Х2 = 0 ,..., Хn = 0.

Если равенство (1) достигается тогда, когда коэффициенты Х1, Х2, ... Хn не превращаются одновременно на ноль, то векторы а1, а2 ,..., аn. в одномерном векторном пространстве R, т.е. на прямой, любой ненулевой вектор является линейно независимым, а любые два вектора уже линейно зависимы.

3.Означення: Наибольшее число r линейно независимых вектора в системе векторов а1, а2 ,..., аn называется ее рангом и обозначается

r = rank (а1, а2 ,..., аn).

Если ранг системы n векторов равна R (r <n), то любые (r +1) векторов этой системы линейно зависимы. Число L = nr называется дефектом системы векторов.

Вычисляя ранг системы векторов, можно транспортировать векторы, т.е. заменять векторы — столбцы векторами — строками. В результате транспортировки ранг системы векторов не меняется.

Чтобы вычислить ранг системы векторов, виокреслюемо в ней линейно независимые векторы.

Учитывая сказанное получаем такой метод виокреслення линейно независимых векторов.

1.В заданной системе векторов а1, а2 ,..., аn отыскиваем вектор, у которого первая координата отлична от нуля. Если все первые координаты векторов а1, а2 ,..., аn равны нулю, то ищем вектор, у которого второй координата отлична от нуля, и т.д. Пусть это будет вектор а1.

2.Множимо вектор а1 на Ви (i = 2 ,..., n) и отнимаем от вектора ай (i = 2 ,..., n) так, чтобы выбранная координата превратилась в ноль.

3.Зи полученных векторов е = ай — Виаи (i = 2 ,..., n) опять выделяем вектор, линейно независимый от других векторов, способом, указанным в nю 1 и 2.

Количество линейно независимых векторов равна ранга системы векторов.